线性代数n维向量 (2)

发布时间:2021-06-24 11:21:19

一、最大线性无关向量组
定义1 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量

? 1 ,? 2 ,?,? r,满足 (1)向量组A0 : ? 1 ,? 2 ,?,? r 线性无关;
(2)向量组A中任意r ? 1个向量(如果A中有 r ? 1个向量的话)都线性相 那末称向量组A0是 关, 向量组A的一个 最大线性无关向量组 (简称最大

无关组) 最大无关组所含向量个 r称为向量组 ; 数 的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组,规定
它的秩为0.

二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩,也等于
它的行向量组的秩 .

证 设A ? (a1 , a2 ,?, am ),R( A) ? r , 并设r阶子式 Dr ? 0.根据4.2定理2由Dr ? 0知所在的r列线性无 又由 A 关; A中所有r ? 1阶子式均为零,知 中任意 r ? 1个列向量都线性相关 因此Dr 所在的r列是A .
所以列向量组的秩 的列向量的一个最大无 关组, R 等于r . 类似可证A的行向量组的秩也等于 ( A).

R 向量组a1 , a2 ,?, am的秩也记作 (a1 , a 2 ,?, a m )
结论

若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式 ,则Dr 所在的r列即是列向量组的一个 最大无关组,Dr 所在的r行即是行向量组的一个 最大无关组.
说明
(1)最大无关组不唯一 ;
(2)向量组与它的最大无 关组是等价的.

例1 全体n维向量构成的向量组记 R n,求R n的 作 一个最大无关组及 的秩. R
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 ,? , en 是线性无关的, 又根据 4.2定理3的结论 ( 3) 知R n
n

因此向量组E 中的任意n ? 1个向量都线性相关, 是R n的一个最大无关组,且 n的秩等于n. R

例2 设矩阵 ?2 ?1 ?1 1 ? ?1 1 ? 2 1 A?? 4 ?6 2 ?2 ? ?3 6 ? 9 7 ? 2? ? 4? 4? ? ? 9?

求矩阵A的列向量组的一个最大 无关组,并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .

解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵

A

初等行变换

~

知R( A) ? 3,

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

1 ?2 1

4 ? ? 1 ?1 1 0 ? , 0 0 1 ? 3? ? 0 0 0 0 ? ?

故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首 元在1、、三列, 24

故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组.

事实上

?2 ?1 1 ? ? ? 1 ? (a1 , a 2 , a4 ) ?? 1 1 ? 4 ? 6 ? 2? ? ? ?3 6 7 ? ? ?

初等行变换

~

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

1 1? ? 1 1? 0 1? ? 0 0? ?

知R(a1 , a2 , a4 ) ? 3,故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示,必须将 再变 A 成行最简形矩阵 .

A

初等行变换

~

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

4 ? ? 1 ?1 0 3 ? 0 0 1 ? 3? ? 0 0 0 0 ? ?

0 ?1 0

即得

? a 3 ? ? a1 ? a 2 , ? ? a5 ? 4a1 ? 3a 2 ? 3a4

三、向量组秩的重要结论
定理2 设向量组B能由向量组A线性表示,则向
量组B的秩不大于向量组 的秩. A 证 设向量组B的一个最大无关组为 0 : b1 ,? , br, B

向量组A的一个最大无关组为 A0 : a1 ,? , a s , 要证 r ? s. 因B0组能由B组线性表示,B组能由A组线性

表示,A组能由A0组线性表示. 故B0组能由A0组线性表示. 即存在系数矩阵 sr ? ( k ij ), 使得 K

? k11 ? k1r ? ? ? (b1 ,?, br ) ? (a1 ,?, a s )? ? ? ? ?k ? k sr ? ? s1 ? ? x1 ? ? ? 如果r ? s,则方程组 K sr ? ? ? ? 0 (简记为Kx ? 0) ?x ? ? r?
从而方程组 有非零解(因 R( K ) ? s ? r), (a1 ,?, a s ) Kx ? 0 有非零解, (b,?, br ) x ? 0有非零解, B0组 即 这与

线性无关矛盾,因此 r ? s不能成立,所以 r ? s .

推论1

等价的向量组的秩相等.

证 设向量组A与向量组B的秩依次为 s和 r .

因两个向量组等价,即 两个向量组能相互线性 表 故 示, s ? r与r ? s同时成立, 所以 s ? r .

推论2

设 C m ? n ? Am ? s Bs ? n,则 R(C ) ? R( A), R(C ) ? R( B ).

证 设矩阵C和A用其列向量表示为
C ? (c1 ,?, cn ), A ? (a1 ,?, a s ). 而B ? (bij ),

? b11 ? b1n ? ? ? 由 (c1 ,?, c n ) ? (a1 ,?, a s )? ? ? ? ?b ? bsn ? ? s1 ? 知矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示, 因此R(C ) ? R( A).

因C T ? BT AT ,由上段证明知 (C T ) ? R( BT ), R 即R(C ) ? R( B ).

思考
定理2与推论2有什么异同?

推论3 设向量组B是向量组A的部分组,若向量 组B线性无关,且向量组 能由向量组B线性表示, A 则向量组B是向量组A的一个最大无关组 .



设向量组B含r个向量,则它的秩为 , r

因A组能由B组线性表示,故A组的秩 ? r, 从而A组中任意r ? 1个向量线性相关,
所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的 条件.

例3 设向量组B能由向量组A线性表示, 且它们的 秩相等,证明向量组 与向量组B等价. A

证一 只要证明向量组 A能由向量组B线性表示.

设两个向量组的秩都为 ,并设A组和B组 r 的最大无关组依次为 0 : a1 ,?, a r 和B0 : b1 ,?br , A 因B组能由A组线性表示,故 0组能由A0组线性 B 表示,即有r阶方阵K r 使
(b1 ,?, br ) ? (a1 ,?, a r ) K r

因B0组线性无关,故 (b1 ,?, br ) ? r . R
根据定理2推论2,有 R( K r ) ? R(b1 ,?, br ) ? r
但R( K r ) ? r,因此R( K r ) ? r .
于是矩阵K r 可逆,并有 (a1 ,?, a r ) ? (b1 ,?, br ) K r ,
?1

即A0组能由B0组线性表示.
从而A组能由B组线性表示 .

证二
设向量组A和B的秩都为 r . 因B组能由A组线性表示, 故A组和B组合并而

成的向量组( A, B )能由A组线性表示. 而A组是( A, B )组的部分组, 故A组总能由 ( A, B )组线性表示. 所以( A, B )组与A组等价,因此 ( A, B )组的秩也为r . 又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组 0含r B 个向量, 因此B0组也是( A, B )组的最大无关组, 从

而( A, B )组与B0组等价.

由A组与( A, B )组等价, , B )与B0等价, 推知A组 (A 与B组等价.

注意
本例把证明两向量组 与B等价, 转换为证明它 A 们的最大无关组 0与B0等价.证法一证明B0用A0线 A 性表示的系数矩阵可逆证法二实质上是证明 0与 ; A B0都是向量组( A, B )的最大无关组.

例4

已知 3 ? ? 2 ?? 5 4 ? ? ? ? ? ? 0 ? 2? ? 6 ? 4? ( a1 , a 2 ) ? ? ? , (b1 , b2 ) ? ? ? 5 3 ? , ?1 1 ? ? ? 3 ? 1? ? ? 9 ? 5? ? ? ? ? ?

证明向量组(a1 , a 2 )与(b1 , b2 )等价.

证明

要证存在2阶方阵X , Y , 使

(b1 , b2 ) ? (a1 , a2 ) X , (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 )Y .
先求 X . 类似于线性方程组求解 的方法, 对增广矩

阵(a1 , a2 , b1 , b2 )施行初等行变换变为行 最简形矩阵:
3 ?5 4 ? ? 2 ? ? ? 0 ? 2 6 ? 4? (a1 , a 2 , b1 , b2 ) ? ? ?1 1 ?5 3 ? ? ? 3 ? 1 9 ? 5? ? ? ?

3 ?5 4 ? ? 2 ? ? ? 0 ? 2 6 ? 4? (a1 , a 2 , b1 , b2 ) ? ? ?1 1 ?5 3 ? ? ? 3 ? 1 9 ? 5? ? ? ? ??1 1 ? 5 3 ? ? ? ? 0 ? 2 6 ? 4? ? 2 3 ?5 4 ? ? ? 3 ? 1 9 ? 5? ? ? ?

r1 ? r3

~

??1 1 ? 5 3 ? ? ? r1 ? r3 ? 0 ? 2 6 ? 4 ? ~ ? 2 3 ?5 4 ? ? ? 3 ? 1 9 ? 5? ? ? ?

r3 ? 2r1

r4

~3r ?

1

?5 3 ? ??1 1 ? ? 6 ? 4? ? 0 ?2 ? 0 5 ? 15 10 ? ? ? ? 0 2 ?6 4 ? ? ?

r1 ? r3 r3 ? 2r1

r4 ? 3r1

~

?5 3 ? ??1 1 ? ? 6 ? 4? ? 0 ?2 ? 0 5 ? 15 10 ? ? ? ? 0 ? 2 ?6 4 ? ? ??1 ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ? 3? ? 1 ?3 2? 5 ? 15 10 ? ? 2 ?6 4 ? ? 1 ?5

r2 ? ( ?2)

~

r2 ? ( ?2)

~

??1 ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ? ??1 ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ?

3? ? 1 ?3 2? 5 ? 15 10 ? ? 2 ?6 4 ? ? 1 1 ? 5 3? ? 1 ? 3 2? 0 0 0? ? 0 0 0? ?

?5

r3 ? 5r2

r4 ? 2r2

~

r3 ? 5r2

r4 ? 2r2

~

??1 ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

1 ? 5 3? ? 1 ? 3 2? 0 0 0? ? ? 0 0 0? ? 1? ? 1 ?3 2 ? . 0 0 0 ? ? 0 0 0 ? ? 0 2

~ r1 ? ?? 1?

r1 ? r2

初等行变换

(a1 , a 2 , b1 , b2 )

~

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

? 1? ? 1 ?3 2 ? 0 0 0 ? ? 0 0 0 ? ? 0 2

即得

? 2 ? 1? X ? ? ? ?? 3 2 ?

因 X ? 1 ? 0, 知X可逆, 取Y ? X ? 1 ,即为所求.因 此向量组a1 , a2与b1 , b2等价.

四、小结
1.最大线性无关向量组的概念: 最大性、线性无关性. 2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系: 矩阵的秩=矩阵列向量组的秩 =矩阵行向量组的秩 3. 关于向量组秩的一些结论: 一个定理、三个推论. 4. 求向量组的秩以及最大无关组的方法: 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵,然后进行初等行变换.

思考题
比较教材例7的证法一、二、三,并总 结这类题的证法.

思考题解答
证法一根据向量组等价的定义,寻找两向量 组相互线性表示的系数矩阵; 证法二利用“经初等列变换,矩阵的列向量 组等价,经初等行变换,矩阵的行向量组等价” 这一特性,验证是否有相同的行最简形矩阵; 证法三直接计算向量组的秩,利用了向量组 的最大线性无关组等价这一结论.


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